Аннотация:
Субриманова геометрия отличается от римановой тем, что поиск геодезических идет среди кривых, касающихся заданного неинтегрируемого распределения. В результате такого ограничения все геодезические делятся на два типа. Нормальные геодезические во многом напоминают обычные римановы, потому что удовлетворяют почти привычной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с символами Кристоффеля. Анормальные геодезические не удовлетворяют никакой системе обыкновенных уравнений и вообще достаточно загадочны. Например, до сих пор остается недоказанной гипотеза Сарда о том, что множество анормальных геодезических имеет меру ноль. Другая интересная открытая проблема связана с их гладкостью. Во всех известных примерах все анормальные геодезические являются гладкими (и даже аналитическими), но общих результатов в этом направлении практически нет. Единственный общий результат — теорема ЛеДонне и Хакавуори об отсутствии углов — далек от желаемого.
Недавно удалось сильно продвинуться и доказать, что производная анормальных геодезических является $L_p$-гельдеровой. По-видимому, этот результат объясняет отсутствие негладких примеров, так как класс негладких кривых, имеющих $L_p$-гельдерову производную, достаточно узок. Если хватит времени, я постараюсь объяснить причины, которые кроются (несмотря на геометричность задачи) в теории интерполяции пространств
Бесова и выпуклом анализе. Этот результат получен в совместной работе с М.И. Зеликиным.
Обратная связь: