Проблема симплектической и контактной линеаризации уравнений типа Монжа–Ампера

Доклад представляет собой продолжение моего доклада “Инварианты уравнений Монжа–Ампера и решение уравнений фильтрации” (19 сентября 2022 г.), однако все необходимые для понимания сведения будут напомнены. Будут рассмотрены уравнения Монжа–Ампера (М–А) с двумя независимыми переменными и показано, что в общем случае они порождают “неголономное” поле эндоморфизмов на пространстве $1$-джетов. Отдельно будут рассмотрены уравнения, коэффициенты которого не зависят от неизвестной функции. Это так называемые симплектические уравнения М–А. Для них вместо контактной геометрии на пространстве $1$-джетов можно рассматривать симплектическую геометрию на кокасательном расслоении и поле эндоморфизмов из неголономного превращается в обычное. Для гиперболических и эллиптических уравнений оно порождает структуру почти произведения и почти комплексную структуру соответственно. Обращение в нуль скобки Нийенхейса соответствующего оператора является необходимым и достаточным условием симплектической эквивалентности уравнений М–А волновому для гиперболических уравнений, или уравнению Лапласа для эллиптических уравнений (теорема Лычагина–Рубцова).