Об эллиптических уравнениях с субоднородной нелинейностью неопределённого знака

Мы обсудим вопросы существования и множественности, а также некоторые качественные свойства неотрицательных решений нулевой задачи Дирихле для квазилинейного уравнения
$$-\Delta_p u - \lambda u^{p-1} = a(x) u^{q-1}$$
в ограниченной области, где $1<q<p$ и функция $a(x)$ знакопеременна. Отличительной особенностью данной задачи является тот факт, что неотрицательные решения не обязаны удовлетворять строгому принципу максимума. Как следствие, множество решений может иметь богатую структуру. Мы покажем, в частности, что для некоторых $p \neq 2$ наблюдаются нетривиальные эффекты, которые невозможны в линейном случае $p=2$.