Разветвленные накрытия многообразий размерности большей двух: классические и новые результаты

В самой общей форме конечнолистные разветвленные накрытия связных топологических многообразий без края размерности большей двух были определены А.В.Чернавским в его замечательной работе 1964 года (эта работа легла в основу кандидатской диссертации Алексея Викторовича, научный руководитель — Л.В.Келдыш). В этой работе была доказана главная структурная теорема о конечнолистных разветвленных накрытиях многообразий.
В 1978 году И.Берстейн и А.Едмондс, опираясь на теорему А.В.Чернавского, в терминах колец когомологий получили классическую оценку снизу на число листов $n$-листного разветвленного накрытия $f\colon X^N \to Y^N$ в компактном и ориентируемом случае. А именно, $n\ge \frac{L(X)}{L(Y)}$, где $L(Z)$ — рациональная когомологическая длина топологического пространства $Z$.
В 1983 году Л.Смит ввел в рассмотрение новый класс $n$-листных разветвленных накрытий произвольных линейно-связных хаусдорфовых пространств. В 1986 году А.Дольд доказал одну из основных структурных теорем данной теории, поэтому сейчас принят термин разветвленные накрытия по Смиту-Дольду.
Несложно проверить (аккуратно это записано в работе автора 2011 г. в Трудах ММО), что в случае многообразий эти два понятия конечнолистных разветвленных накрытий совпадают. В 2018 году автором была получена так называемая $gt_n$-формула (от слов group transfer), которая усиливает оценку Берстейна-Эдмондса. В частности, для $X = \sharp_1^{k}\mathbb{C}P^{2m}, k\le m$, из $gt_n$-формулы можно вывести, что минимальное $n$, для которого существует разветвленное накрытие $f\colon X \to \mathbb{C}P^{2m}$, не меньше $k$ (причем $n=k$ реализуется из простых геометрических соображений). А оценка Берстейна-Эдмондса в этом случае дает тривиальное $n\ge 1$.
В 2019 году автором была получена явная конструкция действия $(k-1)$ коммутирующей инволюции на произведении $k$ штук сфер $S^{m_1}\times S^{m_2}\times\ldots\times S^{m_k}$ произвольных размерностей с факторпространством, гомеоморфным сфере $S^m, m=m_1+m_2+ \ldots +m_k$. В 2023 году автором было доказано, что число $(k-1)$ в этой конструкции является минимально возможным. А именно, для любого(!) действия $(k-2)$ коммутирующих инволюций на $S^{m_1}\times S^{m_2}\times \ldots \times S^{m_k}$, факторпространство не может быть даже рациональной гомологической сферой.