Асимптотический анализ случайных блужданий с тяжёлыми хвостами приращений по направленным случайным графам и смежные вопросы

В первой части доклада мы обобщаем так называемый «принцип одного большого скачка» на модель случайного блуждания по генеалогическому дереву ветвящегося процесса в меняющейся среде, предполагая, что распределения приращений блуждания имеют тяжёлые правые хвосты, то есть, что все экспоненциальные моменты этих распределений бесконечны. Мы приводим точную хвостовую асимптотику максимума блуждания в случайном (в том числе и бесконечном) числе поколений. Во второй части доклада рассматривается модель блуждания по обобщённому графу Барака — Эрдёша (ориентированной версии графа Эрдёша — Реньи), в которой вероятность существования ребра зависит как от вершин, инцидентных этому ребру, так и от общего количества вершин в графе. В случае, когда распределение приращений блуждания имеют тяжёлые правые хвосты, мы получаем точную асимптотику хвоста распределения максимума блуждания по случайно выбранному пути минимальной длины между крайними вершинами, вновь согласующуюся с принципом одного большого скачка. Также мы изучаем вопрос о предельном распределении минимальной длины пути между крайними вершинами при неограниченном возрастании количества вершин. Доклад основан на совместных работах с Сергеем Фоссом и Бастиеном Маллейном.