Аннотация:
Под несжимаемым потоком на замкнутой ориентируемой поверхности будем понимать замкнутую 1-форму $B$, заданную на всей поверхности $S$ кроме конечного числа точек, в которых 1-форма $B$ имеет особенности типа «источник» или «сток». Термин «несжимаемый поток» мотивируется тем, что любая 2-форма объема $W$ на $S$ сохраняется при потоке векторного поля $V = W^{-1}B$ (ввиду замкнутости 1-формы $B$), т.е. этот поток является несжимаемым. Будем предполагать, что нули 1-формы $B$ невырождены (т.е. являются морсовскими), а в окрестности любого источника или стока она приводится к виду $B = d(\operatorname{arctg}(y/x)) = (-y\,dx+x\,dy)/(x^2+y^2)$ в некоторых локальных координатах.
Мы дадим комбинаторный критерий того, когда несжимаемый поток является градиентоподобным, т.е. имеет энергетическую функцию. Наш критерий аналогичен результату С. Смейла (1961) о существовании (самоиндексирующейся) энергетической функции у любого потока Морса–Смейла (т.е. у векторного поля с невырожденными нулями, удовлетворяющего условиям Смейла трансверсальности сепаратрис), не имеющего замкнутых траекторий. Однако мы не предполагаем выполнение условия трансверсальности Смейла.
Также мы дадим комбинаторное описание топологии пространства $X(S)$ всех градиентоподобных несжимаемых потоков с заданными типами локальных особенностей на поверхности $S$, снабженного $C^\infty$-топологией. Мы также изучим разбиение пространства $X(S)$ на классы топологической эквивалентности: опишем разбиение классифицирующего пространства (т.е. многообразия $E(S)$, имеющего гомотопический тип пространства $X(S)$) на «ручки» и докажем, что каждая ручка гомотопически эквивалентна соответствующему классу топологической эквивалентности потоков из $X(S)$.
Аналогичные результаты доказаны для случая неморсовских особенностей.
Подключение к Zoom: https://zoom.us/j/97302991744 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
Обратная связь: