Квадратичные формы и мотивы Чжоу, лекция 3

Пусть $F$ — поле характеристики не два. Пифагоровым числом поля $F$ назовем такое наименьшее число $n$, что любой элемент поля, представимый в виде суммы нескольких квадратов, представим уже в виде суммы $n$ квадратов. Например, пифагорово число поля вещественных чисел равно $1$, конечного поля равно $2$, а по теореме Лагранжа о сумме четырех квадратов пифагорово число поля рациональных чисел равно $4$.
Можно предположить, что пифагорово число всегда является степенью двойки. Но оказывается, что для любого натурального $n$ существует поле с пифагоровым числом $n$. Что удивительно, для своего доказательства этот элементарный по формулировке факт требует привлечения тонких понятий из теории квадратичных форм (размерность Ижболдина) и мощной техники мотивов Чжоу. Конечно, эта теория имеет и другие применения, некоторые из которых я упомяну в курсе.