Спектральная устойчивость уединенных волн в нелинейном уравнении Дирака

Нелинейное уравнение Дирака (также известное физикам как Soler model) активно рассматривается в квантовой физике с 1970 года. Хорошо известно, что для широкого класса нелинейностей это уравнение допускает решения вида уединённых волн, $\psi(x,t)=\phi(x)e^{-i\omega t}$, где «спинор» $\phi(x)\in C^{2N}$ локализован в пространстве. Такие решения существуют для частот omega из некоторого интервала вещественной оси (интервал зависит от нелинейности). Нас интересует, какие волны будут «спектрально устойчивы», то есть мы хотим знать, когда линеаризация около данной уединённой волны не содержит собственных значений с положительной вещественной частью. Спектральная устойчивость хорошо изучена для нелинейного уравнения Шрёдингера и Клейна–Гордона (и некоторых других), однако для нелинейного уравнения Дирака не было получено даже достаточно точных численных результатов. Мы доказываем, что в одномерном случае условие устойчивости уединенных волн малой амплитуды совпадает с критерием Вахитова–Колоколова, полученным в контексте нелинейного уравнения Шредингера. Многие результаты обобщаются на многомерный случай.