Гамильтоновы многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями (совместная работа с В. С. Жгуном)

Доклад будет посвящён гамильтоновым действиям редуктивных групп на симплектических алгебраических многообразиях с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями. Типичный пример такого действия — индуцированное действие редуктивной группы $G$ на кокасательном раслоении к $G$-многообразию, причём в качестве инвариантного лагранжева подмногообразия можно взять нулевое сечение. В дифференциально-геометрической категории для гамильтоновых действий компактных групп Ли всякое гамильтоново многообразие в окрестности инвариантного лагранжева подмногообразия устроено как кокасательное расслоение к нему (следствие теоремы Дарбу-Вайнштейна), однако в алгебро-геометрической категории это уже не так. Тем не менее, оказывается, что многие свойства гамильтонова $G$-многообразия $M$ с инвариантным лагранжевым подмногообразием $S$ совпадают с таковыми у кокасательного расслоения $T^*S$. В частности, у $M$ и $T^*S$ совпадает замыкание образа отображения моментов, в терминах которого выражаются важные симплектические инварианты — коранг и дефект. Из этого и результатов Кнопа вытекает, что коранг и дефект многообразия $M$ равны удвоенной сложности и рангу подмногообразия $S$ соответственно. В качестве следствия получается теорема Панюшева о сложности и ранге нормального и конормального расслоений к инвариантному подмногообразию в $G$-многообразии и её обобщение. Короткое элементарное доказательство теоремы Панюшева, не зависящее от более общего результата, будет также дано в докладе. Оно, как и доказательство основного результата об образе отображения моментов, основано на известном в алгебраической геометрии приёме — деформации к нормальному расслоению. Кроме этого, в доказательствах используются т. н. теорема о локальной структуре и недавние результаты Жгуна об эквивариантной геометрии кокасательного расслоения. Обобщение результатов работы на инвариантные коизотропные подмногообразия вместо лагранжевых связано с известной гипотезой Элашвили об ндексах централизаторов элементов в полупростой алгебре Ли.