Оценки операторных модулей непрерывности

В докладе будут представлены результаты, полученные в совместной работе с B. B. Пеллером.
Известно, что если $f$ — ограниченная функция, удовлетворяющая условию Липшица, то $\|f(B)-f(A)\|\le C(f)\|B-A\|\,|\log\|B-A\||$ для любых самосопряжённых операторов $A$ и $B$ таких, что $\|B-A\|<1/2$. Другими словами, операторный модуль непрерывности $\Omega_f$ функции $f$ допускает следующую оценку сверху $\Omega_f (t)=O(t |\log t|)$ при малых $t$. Неизвестно, является ли эта оценка неулучшаемой.
В докладе будет доказано, что для некоторых специальных классов функций эта оценка может быть улучшена. Например, если $f$ — ограниченная кусочно-линейная функция (с конечным числом «кусков»), то в вышеприведённой оценке операторного модуля непрерывности логарифм может быть заменён двойным логарифмом; и этот результат является уже окончательным.
Кроме того, будет построена ограниченная липшицева функция $f$ такая, что $\Omega_f (t)>t|\log t|^{1/2}$ при малых $t$.