Новые результаты о прямых, обратных и производных пределах абелевых групп с приложениями к топологии

Мы обсудим несколько новых теорем об абелевых группах, а точнее об их прямых, обратных и производных пределах (следуя статье [2] и параграфу 2 книги [4]). Для неабелевых групп тоже кое-что получается, но в целом для них больше контрпримеров и открытых вопросов. Наиболее важный результат относится к взаимодействию прямого предела с lim^1. Доказательство довольно длинно и мучительно (индукция по 4 параметрам), поэтому вместо него мы обсудим (следуя параграфу 5 книги [4]), альтернативный подход к доказательству той же теоремы, который не привёл к успеху, но привёл к интересным открытым вопросам о структуре lim^1 от башни конечнопорождённых абелевых групп. Он привёл бы к успеху, если бы не существовало счётной дикой абелевой группы, но выяснилось, что она всё-таки существует (что это значит, будет объяснено в докладе). В связи с этим альтернативным подходом мы обсудим в том числе такие классические, но не очень широко известные вещи, как индекс Грея элемента lim^1, фильтрацию Боардмана в lim^1 и "короткую точную последовательность Миттаг-Леффлера" Бусфельда-Кана. Для понимания доклада потребуется знакомство с прямыми и обратными пределами. Определение и нужные нам свойства lim^1 я коротко напомню. Но вообще обо всех трёх можно прочитать, например, в книге А. Хэтчера "Алгебраическая топология", параграф 3.Е (страницы 311–316 английского издания). А более подробно - в книге [4].
Разумеется, вся эта алгебра мотивирована топологией. Классическая теория гомотопий хорошо работает для пространств, гомотопически эквивалентных CW-комплексам - как показывает, в частности, теорема Уайтхеда. Для более общих пространств до недавнего времени не было известно адекватной теории гомотопий - за исключением компактного случая, в котором такая теория была построена около 80 лет назад в Принстоне (Стинрод, Лефшец, Кристи) и впоследствии стала известна как "сильный шейп". Для некомпактных (метризуемых) пространств адекватная теория гомотопий появилась лишь недавно, под названием "тонкий шейп" [1], [2], [3]. Используя новые алгебраические результаты, удаётся доказать некоторую версию теоремы Уайтхеда для тонкого шейпа, что окончательно подтверждает, что это и есть правильная теория гомотопий для пространств со сложной локальной структурой.
[1] S. A. Melikhov, Fine shape. I, https://arxiv.org/abs/1808.10228v2
[2] S. A. Melikhov, Fine shape II: A Whitehead-type theorem, https://arxiv.org/abs/2211.11102
[3] S. A. Melikhov, Fine shape III: Δ-spaces and ∇-spaces, https://arxiv.org/abs/2211.11101
[4] S. A. Melikhov, Topology of Metric Spaces, https://www.researchgate.net/publication/365476532_Topology_of_Metric_Spaces