Многообразия Ботта-Самельсона и многогранники Винберга–Литтельманна–Фейгина–Фурье

Многообразия Ботта–Самельсона являются разрешениями особенностей подмногообразий Шуберта в многообразии полных флагов для полупростой группы $G$. Каждое многообразие Ботта–Самельсона можно построить индуктивно, итерируя одну и ту же простую конструкцию: на многообразии, построенном на предыдущем шаге, нужно выбрать подходящее векторное расслоение ранга 2 и взять его проективизацию. Около тридцати лет назад Гроссберг и Каршон использовали многообразия Ботта–Самельсона, чтобы реализовать характеры Демазюра в неприводимых представлениях группы $G$ как суммы экспонент по целым точкам в виртуальных многогранниках (скрученных кубах Гроссберга–Каршон).
С тех пор было получено множество других выпукло-геометрических интерпретаций характеров Демазюра. Все они опираются на явное построение базисов, таких как кристальные базисы или базисы Винберга, в неприводимых представлениях группы $G$. Я напомню основные результаты и расскажу о новом геометрическом подходе, который также использует многообразия Ботта–Самельсона. В отличие от подхода Гроссберга–Каршон, на выходе получаются не виртуальные многогранники, а настоящие. В случае, когда $G=\mathrm{SL}_n$, они гипотетически реализуются как суммы по Минковскому многогранников Винберга–Литтельманна–Фейгина–Фурье в типах $\mathsf A_2, \mathsf A_3, ... , \mathsf A_{n-1}$.