Трёхмерное множество достижимости для машины Дубинса: аналитическое описание и свойства симметрии

Стандартная кинематика машины Дубинса включает две координаты геометрического положения на плоскости и угол направления вектора скорости. Величина скорости предполагается постоянной. Скалярное управление определяет мгновенную угловую скорость поворота. Рассматриваются варианты, когда управление стеснено либо симметричным геометрическим ограничением (минимальные радиусы поворотов влево и вправо одинаковы), либо несимметричным (поворот возможен в обе стороны, но минимальные радиусы поворотов не совпадают). Исследуется задача построения трёхмерного множества достижимости “в момент”. Показано, что ϕ-сечения множества достижимости по угловой координате симметричны относительно одной из осей вспомогательной ортогональной системы координат. Для случая канонического симметричного ограничения на управление даётся аналитическое описание его ϕ-сечений. Введена классификация структуры ϕ-сечений. Вспомогательная система координат используется также при установлении аффинного соответствия между ϕ-сечениями в каноническом и несимметричном случаях. Это позволяет “свести” задачу построения множества достижимости при несимметричном ограничении на управление к каноническому случаю. Приводятся результаты визуализации трёхмерного множества достижимости.