О сильной и слабой ассоциированности некоторых функциональных классов

Обозначим $\mathfrak{M}(I)$ класс всех функций на $I:=(0,\infty),$ измеримых по Лебегу. Пусть $(X,\|\cdot\|_X)$ нормированное пространство измеримых функций на $I,$ $X^\ast-$ двойственное (сопряженное) к $X$ пространство всех линейных непрерывных функционалов. Классической задачей функционального анализа является задача о представлении элементов $X^\ast$ в конкретной форме, этому посвящены теоремы Ф. Рисса.
$X$ называется идеальным, если из условия $|f|\leq|g|$ п.в. на $I$ и $g\in X$ следует $f\in X$ и $\|f\|\leq\|g\|.$ Пусть
$$ \mathfrak{D}_X:=\left\{g\in \mathfrak{M}(I):\int_I |fg|<\infty\, ~\text{для всех}\,f\in X\right\}. $$
$\forall$  $g\in\mathfrak{D}_X$ определим функционалы
$$ \mathbf{J}_{X}(g):=\sup_{f\in X}\frac{\int_I |fg|}{\|f\|_{X}} \,\, \text{и}\,\,{J}_{X}(g):=\sup_{f\in X}\frac{|\int_I fg|}{\|f\|_{X}} $$
и ассоциированные пространства
$$ X'_s:=\{g \in \mathfrak{M}(I):\|g\|_{X'_s}:=\mathbf{J}_X(g)<\infty\}, $$

$$ X'_w:=\{g \in \mathfrak{M}(I):\|g\|_{X'_w}:={J}_X(g)<\infty\}, $$
которые мы называем "сильными" и "слабыми" ассоциированными пространствами, соответственно.
Для идеальных пространств с свойством Фату известно, что $(X'_s)'_s=X,$ $J_X(g)=\mathbf{J}_X(g)$ и, следовательно, $X'_s=X'_w.$ Для неидеальных пространств это, вообще говоря, не так, функционалы $J_X(g)$ и $\mathbf{J}_X(g)$ могут быть различными. В результате возникает задача описания "дважды ассоциированных" пространств. Поскольку $X'_s$ идеально, то $[X'_s]'_s=[X'_s]'_w,$ но к этому добавляются еще $[X'_w]'_s$ и $[X'_w]'_w.$
В докладе эта задача рассматривается для весовых пространств Соболева первого порядка и неидеальных пространств Чезаро и Копсона.