Вариант метода Бургейна для проверки K-замкнутости некоторых подпространств

В начале 90-х Ж. Бургейн доказал, что пара $(L_1^Q, L_p^Q)$ подпространств, определённых соотношением $\{Q f = f\}$ с помощью проектора $Q$, являющегося оператором Кальдерона-Зигмунда, K-замкнута в соответствующей паре $(L_1, L_p)$ при $1 < p < \infty$. K-замкнутость означает, что произвольные измеримые разбиения в $L_1 + L_p$ функций из $L_1^Q + L_p^Q$ можно исправлять до $L_1^Q + L_p^Q$ с соответствующими оценками нормы. Вскоре после этого С. В. Кислякову и К. Шу удалось проверить K-замкнутость пространств Харди на бидиске при $p =\infty$. Мы обсудим один вариант рассуждения Ж. Бургейна, который естественным образом приводит ко многим известным его обобщениям, и, в частности, позволяет доказать, что пространства функций на $\mathbb R^2$ со спектром в конечном объединении произвольных многоугольников K-замкнуты в паре $(L_1, L_\infty)$. С другой стороны, некоторые контрпримеры в контексте этого подхода выявляют конкретные ограничения, с которыми сталкиваются попытки выхода в более высокие размерности, а также попытки рассмотрения более сложных пространств функций на прямой и на плоскости.