Алгебраическая независимость и экспоненциальная функция

Практически каждое доказательство в теории трансцендентных чисел использует исключение переменных. Это относится к классическим результатам о трансцендентности $e$ (Ш. Эрмит), к алгебраической независимости значений так называемых $E$-функций (К. Зигель и А.Б. Шидловский), к решению 7-й проблемы Гильберта (А.О. Гельфонд, Т. Шнейдер). Все эти утверждения использовали либо исключение переменных с помощью однородных линейных форм, либо исключение одной переменной с помощью двух многочленов от неё. Ещё в начале 50-х годов прошлого века А.О. Гельфонд указывал на необходимость развития общей теории исключения применительно к задачам о трансцендентности и алгебраической независимости чисел. Цель настоящего доклада привлечь внимание слушателей к реализации в этого пожелания Гельфонда, а также к некоторым результатам, полученным в последовавшие годы с его помощью, и открытым вопросам.
Пусть $K$ — конечное расширение поля рациональных чисел. Для каждого однородного несмешанного идеала $I$ кольца $R=K[x_0,x_1,\ldots,x_m]$ с помощью формы Чжоу этого идеала можно определить ряд его характеристик: размерность $\dim I$, степень $\deg I$, логарифмическую высоту $h(I)$ и величину идеала $|I(\omega)|$ в произвольной точке $\omega$ проективного $m$-мерного пространства над $\mathbb C$. Три последние характеристики аналогичны соответствующим характеристикам для многочленов. В частности, $\deg I$, $h(I)$ и $\ln|I(\omega)|$ ведут себя почти линейно при разложении $I$ в пересечение примарных компонент. Процесс исключения переменных можно реализовать как индуктивную оценку снизу величины $|I(\omega)|$ в зависимости от характеристик $\dim I$, $\deg I$, $h(I)$. Индукция проводится по размерности идеала. В частности, получаемая в конце индукции, такая оценка для главных идеалов позволяет получить оценку снизу для многочленов — их образующих и доказать, что эти многочлены в точке $\omega$ отличны от нуля. Другими словами, координаты точки $\omega$ однородно алгебраически независимы над $K$. Мы укажем ряд конкретных примеров, связанных с такой схемой рассуждений в случае экспоненциальной функции.