Решето И. М. Виноградова и оценка неполной суммы Клоостермана

Метод А. А. Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, отвечающие простому модулю $q$, по промежутку вида $1 \le n \le x$, где длина $x$ может быть меньше любой сколь угодно малой фиксированной степени $q$. Суть метода — в разбиении суммы на две части. Первая оценивается тривиально — числом слагаемых (с помощью соображений решета), вторая разбивается на небольшое число двойных сумм, к каждой из которых применимы оценки А. А. Карацубы, дающие очень хорошее понижение. Новшество состоит в том, что для части слагаемых, которая ранее оценивалась тривиально, теперь удается уловить осцилляцию. Именно, к таким слагаемым можно применить т.н. «решето И. М. Виноградова» и распределить по двойным суммам, к которым также применимы оценки А. А. Карацубы. За счет этого достигается небольшое (порядка степени $ln\ ln\ q$) уточнение предыдущих оценок.