Оценки интегралов от рациональных и $n$-листных функций и геометрические свойства областей

В докладе рассматривается задача об оценке интегралов от производных ограниченных $n$-листных функций. Показано, что в области $D$ со спрямляемой границей имеет место точная по порядку зависимости от $n$ оценка $\int_D |f'(z)| dxdy \le C L \sqrt{\log n}\|f\|_\infty$, где $L$ – длина границы области, а $C$ – некоторая абсолютная константа. Аналогичные оценки получены и для $L^p$-нормы производной при $1<p<2$. Полученные неравенства существенно обобщают известные оценки Е.П. Долженко (1966) для рациональных функций в областях с достаточно гладкой границей. Для областей с неспрямляемой границей получены оценки интегралов от производных ограниченных $n$-листных функций в терминах размерности Минковского границы. Доклад основан на совместной работе с И.Р.Каюмовым (Казанский федеральный университет).