Эллиптические уравнения, модельные области и краевые задачи

Отправной точкой исследования служит модельное псевдодифференциальное уравнение в конусе $C\subset\mathbb R^m$ \[ (Au)(x)=v(x),   x\in C,   x\in C, \eqno(1) \] где $A: H^s(C)\rightarrow H^{s-\alpha}(C)$ – псевдодифференциальный оператор с символом $A(\xi)$, удовлетворяющим условию \[ c_1(1+|\xi|)^{\alpha}\leq|A(\xi)|\leq c_2 (1+|\xi|)^{\alpha},   \alpha\in\mathbb R. \]
Конкретный конус $C$ обладает определенными параметрами, например, угол на плоскости $C^a_+=\{x\in\mathbb R^2: x=(x_1,x_2), x_2>a|x_1|,a>0\}$ имеет ""раствор""  $a$, а пространственный конус $C^{a,b}_+=\{x\in\mathbb R^3: x=(x_1,x_2,x_3), x_3>a|x_1|+|x_2|, a,b>0\}$ имеет 2 параметра $a,b$. Представляется интересным и естественным выяснить, что произойдет с решением уравнения (1) (в том случае, когда оно существует и единственно), когда некоторые параметры стремятся к своим предельным значениям $0$ или $\infty$. Получены ответы на некоторые из этих вопросов.
Можно рассмотреть дискретный вариант уравнения (1) с помощью следующих конструкций для функций дискретного аргумента $u_d(\tilde x), \tilde x\in h\mathbb Z^m, h>0$. Пусть $C_d=h\mathbb Z^m\cap C$, $\hbar=h^{-1}$, $\mathbb T=[-\pi,\pi]$ и $\tilde A_d(\xi)$ – измеримая периодическая функция, определенная на $\mathbb R^m$ с основным кубом периодов $\hbar\mathbb T^m$. Дискретным псевдодифференциальным оператором $A_d$ с символом $\tilde A_d(\xi)$ в дискретном конусе $C_d$ называется оператор следующего вида \[ (A_du_d)(\tilde x)=\sum\limits_{\tilde y\in h\mathbb Z^m}h^m\int\limits_{\hbar\mathbb T^m}\tilde A_d(\xi)e^{i(\tilde x-\tilde y)\cdot\xi}\tilde u_d(\xi)d\xi,   \tilde x\in C_d, \] где $\tilde u_d(\xi)$ обозначает дискретное преобразование Фурье функции $u_d$.
Можно определить дискретный аналог $H^s$-пространств и для специального случая ${C=\mathbb R^m_+}$ получить условия разрешимости для дискретного аналога уравнения (1). Показано, что дискретные решения обладают аппроксимационными свойствами при малых $h$. Аналогичные результаты получены для дискретного квадранта на плоскости.