Об автомодельных решениях многофазной задачи Стефана

Рассматривается задачи Стефана для уравнения $u_t=(a(u)u_x)_x$ с кусочно-постоянным коэффициентом диффузии $a(u)\equiv a_k^2>0$ при $u_k<u<u_{k+1}$, $k=0,\ldots,n$, где ${u_-=u_0<u_1<\cdots <u_n<u_{n+1}=u_+}$. Задаётся начальное условие Римана ${u(0,x)=\left\{
\begin{array}{lr} u_-, & x<0 \\ u_+, & x>0 \end{array}
\right.}$ и условие Стефана на линиях $x=x_k(t)$ раздела фаз (где $u=u_k$):
$$d_k \dot x_k + (a(u)u_x)(t,x_k(t)+)-(a(u)u_x)(t,x_k(t)-)=0, \quad d_k\ge 0, \ k=1,\ldots,n.$$
Решение указанной задачи автомодельно: $u=v(x/\sqrt{t})$ и функция $v(\xi)$ имеет вид
$$ v(\xi)=u_k+(u_{k+1}-u_k)(F(\xi/a_k)-F(\xi_k/a_k))/(F(\xi_{k+1}/a_k)-F(\xi_k/a_k)), \ \xi\in (\xi_k,\xi_{k+1}), k=0,\ldots,n, $$
где $-\infty=\xi_0<\xi_1<\cdots <\xi_n<\xi_{n+1}=+\infty$, а $F(\xi)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\xi e^{-s^2/4}ds$ – функция ошибок. Считаем, что $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$. Условия Стефана на линиях $x=\xi_k\sqrt{t}$ раздела фаз сводится к требованию, что вектор $\bar\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ является критической точкой функции
$$ E(\bar\xi)=-\sum_{k=0}^n (a_k)^2(u_{k+1}-u_k)\ln (F(\xi_{k+1}/a_k)-F(\xi_k/a_k))+\sum_{k=1}^n d_k\xi_k^2/4 $$
в области $\xi_1<\xi_2<\cdots<\xi_n$. Нетрудно проверить, что множества $E\le \mathrm{const}$ компактны и что функция $E$ строго выпукла. Поэтому, существует точка минимума функции $E(\bar\xi)$, являющаяся единственной её критической точкой. Нахождение точки минимума позволяет однозначно восстановить свободные границы $\xi=\xi_k$ и, тем самым, эффективно решить нашу задачу.