Решения типа диффузионных волн для нелинейных параболических уравнений и систем

Рассматриваются нелинейные эволюционные параболические уравнения и системы, общий вид которых
\begin{equation}\label{Kazakov:01} U_t =[\Xi_1(U)]_{xx}+\Xi_0(U). \end{equation}
Здесь $U=(U_1,U_2,\ldots,U_n)$ – вектор искомых функций; $t,x$ – независимые переменные ($t$ – время, $x$ – пространственная координата); $\Xi_0,\Xi_1$ – заданные $n$-компонентные вектор-функции, которые предполагаются достаточно гладкими, причем $\Xi_{1,i}=\Xi_{1,i}(u_i)$, т.е. система в главной части покомпонентно распадается. Система \eqref{Kazakov:01} является обобщенной математической моделью ряда тепловых, фильтрационных и диффузионных процессов. Так, ее частными случаями являются известное уравнение нелинейной теплопроводности (porous medium equation), системы реакции-диффузии и некоторые другие уравнения математической физики.
Для вырождающейся системы \eqref{Kazakov:01} и ее частных случаев строятся и исследуются решения, имеющие тип тепловой (диффузионной, фильтрационной) волны, распространяющейся с конечной скоростью нулевому (абсолютно покоящемуся) фону вдоль некоторой достаточно гладкой кривой, именуемой фронтом волны. Здесь тип уравнений (систем) вырождается, решения теряют гладкость (при сохранении непрерывности). В докладе будут представлены теоремы существования и единственности решений рассматриваемого вида, а также получены и изучены точные решения, построение которых сводится к интегрированию задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.