Аннотация:
Если число $\theta$ иррационально, оно раскладывается в бесконечную (обыкновенную) цепную дробь вида $\theta=[a_0;a_1,a_2,\ldots]$
При этом его мера иррациональности есть величина
$$
\mu(\theta)=\sup\Big\{\gamma\in\mathbb{R} \ \Big|\,\forall n_0>0\ \exists\,n>n_0:\big|\theta-p_n/q_n\big|\leq|q_n|^{-\gamma} \Big\}.
$$
Существует классическое соотношение, связывающее $\mu(\theta)$ с ростом неполных частных:
$$
\mu(\theta)=2+\limsup_{n\to\infty}\frac{\log a_{n+1}}{\log q_n}
$$
(здесь $q_0,q_1,q_2,\ldots$ - последовательность знаменателей подходящих дробей $\theta$).
Если рассмотреть решётку
$$
\Lambda= A\mathbb{Z}^2,
$$
где $A=
\begin{pmatrix}
\theta_1 & -1 \\theta_2 & -1
\end{pmatrix}$ с различными действительными $\theta_1$ и $\theta_2$, то можно заметить, что мера иррациональности этих чисел в данном случае тесно связана с диофантовой экспонентой решётки, а именно:
$$\max\big(\mu(\theta_1),\mu(\theta_2)\big)=2+2\omega(\Lambda).$$
Напомним, что диофантовой экспонентой решётки полного ранга называется величина
\begin{equation*}
\omega(\Lambda)=\sup\Big\{\gamma\in\mathbb{R} \Big|\,\exists\,\infty\,\vec x\in\Lambda:\, |x_1\cdot\ldots\cdot x_n|^{1/n} \leq |\vec x|^{-\gamma} \Big\}.
\end{equation*}
Таким образом, получим:
$$\omega(\Lambda) =\frac{1}{2}\max\Big( \limsup_{n\to\infty}\frac{\log a^{\theta_1}_{n+1}}{\log q^{\theta_1}_n}, \limsup_{n\to\infty}\frac{\log a^{\theta_2}_{n+1}}{\log q^{\theta_2}_n}\Big).$$
В данном докладе будет показана геометрическая интерпретация аналога неполных частных $a_n$, а основная часть будет посвящена трёхмерной вариации неравенства
$$
\omega(\Lambda) \leqslant \frac{1}{2}\max\Big( \limsup_{n\to\infty}\frac{\log a^{\theta_1}_{n+1}}{\log q^{\theta_1}_n}, \limsup_{n\to\infty}\frac{\log a^{\theta_2}_{n+1}}{\log q^{\theta_2}_n}\Big).
$$
Обратная связь: