Аннотация:
Доклад состоит из двух частей. В первой из них рассматривается вопрос о представлении пары целых чисел квадратичной и линейной формами с конгруэциальным условием.
Точнее, речь идёт об асимптотике числа решений диофантовой системы:
\begin{equation*}
\begin{cases}
f{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} = m,\l{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} = n,\{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} \equiv {\left( b_{1},\, \ldots,\, b_{s} \right)} \pmod{g},\\end{cases}
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
f{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} = \sum_{i,j = -1}^{s} {a_{ij}\, x_{i}\, x_{j}}
\end{equation*}
— целочисленная положительная квадратичная форма от $s$ переменных, причём $s \geqslant 5$;
\begin{equation*}
l{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} = \sum_{i = -1}^{s} {l_{i}\, x_{i}}
\end{equation*}
— целочисленная линейная форма; $m > 0$, $n$ —целые числа.
Нас интересует число решений $r_{g;\;b_{1},\ldots,b_{s}}\left( f,\, m; l,\, n \right)$ этой системы.
Вторая часть доклада относится к диофантовой системе вида:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x_{1}^{2} + \cdots + x_{s}^{2} = m,\l_{1}\, x_{1} + \cdots + l_{s}\, x_{s} = n,\{\left( x_{1},\, \ldots,\, x_{s} \right)} \equiv {\left( l_{1},\, \ldots,\, l_{s} \right)} \pmod{g},\\end{cases}
\end{equation*}
содержащей сумму квадратов переменных и при этом конгруэнциальное условие имеет специальный вид.
Отдельное рассмотрение такой системы обусловлено тем, что для неё удаётся вычислить особый ряд.
Завершается доклад постановкой нерешённых вопросов по данной теме и списком литературы.
Обратная связь: