Циклические симметрии многомерных цепных дробей

Для понятия классической цепной дроби действительного числа известно несколько обобщений, одно из которых основывается на геометрической интерпретации цепной дроби, предложенной Ф. Клейном. А именно, пусть $l_1,\ldots,l_n$ — одномерные подпространства пространства $\mathbb{R}^n$, линейная оболочка которых совпадает со всем $\mathbb{R}^n$. Гиперпространства, натянутые на всевозможные $(n-1)$-наборы из этих подпространств, разбивают $\mathbb{R}^n$ на $2^n$ симплициальных конусов. Объединение выпуклых оболочек точек $\mathbb{Z}^{n}\setminus\{$0$\}$ внутри этих симплициальных конусов называется $(n-1)$-мерной цепной дробью. Благодаря теореме Дирихле об алгебраических единицах любая $(n-1)$-мерная алгебраическая цепная дробь, соответствующая вполне вещественному расширению поля $\mathbb{Q}$ степени $n$, обладает богатой группой $\textup{GL}_{n}(\mathbb{Z})$-симметрий, действие которой сохраняет каждое из подпространств $l_1,\ldots,l_n$. Однако, у $(n-1)$-мерной алгебраической цепной дроби могут существовать и дополнительные $\textup{GL}_{n}(\mathbb{Z})$-симметрии, называемые палиндромическими. Такие симметрии нетождественным образом переставляют подпространства $l_1,\ldots,l_n$. В данном докладе показывается, что для любого целого $n > 1$ существует $(n-1)$-мерная алгебраическая цепная дробь, обладающая палиндромическими симметриями.