Алгебраическая независимость и квазимодулярные формы

Практически каждое доказательство в теории трансцендентных чисел использует исключение переменных. Это относится к классическим результатам о трансцендентности $e$ (Ш. Эрмит), к алгебраической независимости значений так называемых $E$-функций (К. Зигель и А.Б. Шидловский), к решению 7-й проблемы Гильберта (А. О. Гельфонд, Т. Шнейдер). Все эти утверждения использовали либо исключение переменных с помощью однородных линейных форм, либо исключение одной переменной с помощью двух многочленов от неё. Ещё в начале 50-х гг. прошлого века А. О. Гельфонд указывал на необходимость развития общей теории исключения применительно к задачам о трансцендентности и алгебраической независимости чисел. Цель настоящего доклада — привлечь внимание слушателей к реализации этого пожелания Гельфонда, а также к некоторым результатам, полученным в последующие годы с его помощью.
Пусть $K$ – конечное расширение поля рациональных чисел. Для каждого однородного несмешанного идеала $I$ кольца $R = K[x_{0},x_{1},\ldots,x_{m}]$ с помощью формы Чжоу этого идеала можно определить ряд его характеристик: размерность (проективная размерность $\text{dim}~I$ многообразия $V(I)$ нулей идеала $I$), степень $\text{deg}~(I)$ идеала (количество точек пересечения многообразия нулей $I$ с общим линейным пространством дополнительной размерности), логарифмическую высоту $h(I)$ и проективное расстояние $\varrho(\omega,I)$ от произвольной точки $\omega$ проективного $m$-мерного пространства над полем комплексных чисел до многообразия $V(I)$. Три последние характеристики аналогичны соответствующим характеристикам для многочленов. В частности, они ведут себя почти линейно при разложении $I$ в пересечение примарных компонент. Процесс исключения переменных можно реализовать как индуктивную оценку снизу в зависимости от величин $\text{dim}~I$, $\text{deg}~(I)$, $h(I)$ величины расстояния $\varrho(\omega,I)$. Индукция проводится по размерности идеала. В частности, получаемая в конце индукции, такая оценка для главных идеалов позволяет получить оценку снизу для многочленов — их образующих и доказать, что эти многочлены в точке $\omega$ отличны от нуля. Другими словами, координаты точки $\omega$ однородно алгебраически независимы над $K$. Мы укажем ряд конкретных примеров, связанных с такой схемой рассуждений в случае квазимодулярных форм.