Моментное неравенство с применением к оценкам скорости сходимости в центральной предельной теореме для пуассоновских случайных сумм

Пусть $X, X_1, X_2, \ldots$ – невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения $F$ и $\mathbb{E}|X|^3 < +\infty,$ $N_{\lambda}$ – пуассоновская случайная величина с параметром $\lambda > 0$. Обозначим
$$ S_{\lambda} = X_1 + X_2 + \ldots + X_{N_{\lambda}}, \quad \widetilde{S}_{\lambda} = \frac{S_{\lambda} - \mathbb{E}S_{\lambda}}{\sqrt{\mathbb{D}S_{\lambda}}}, $$

$$ \Delta_{\lambda}(F) = \sup_x \Bigg|\mathbb{P}(\widetilde{S}_{\lambda} < x) - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt \Bigg|, $$

$$ L_0(F) = \frac{\mathbb{E} |X - \mathbb{E}X|^3}{(\mathbb{D}X)^{3/2}}, \quad L_1(F) = \frac{\mathbb{E}|X|^3}{(\mathbb{E}X^2)^{3/2}}. $$
Функционалы $L_0$ и $L_1$ называются соответственно центральной и нецентральной ляпуновскими дробями.
В докладе при каждом $t \in (-1, 1)$ представлены значения функций
$$ H(t) = \sup_{\substack{F: \mathbb{E} X = t,\\ \mathbb{E} X^2 = 1}}\frac{\mathbb{E} |X|^3}{\mathbb{E} |X-t|^3}, \quad H(t)(1-t^2)^{3/2} = \sup_{\substack{F: \mathbb{E} X = t,\\ \mathbb{E} X^2 = 1}} \frac{L_1(F)}{L_0(F)} $$
и указаны соответствующие (двухточечные) экстремальные распределения, а также показано, что
$$ \sup_F \frac{L_1(F)}{L_0(F)} = \sup_{t \in (-1, 1)} H(t)(1-t^2)^{3/2} = \frac{\sqrt{17 + 7\sqrt7}}{4} = 1.48997\ldots. $$

Также показано, что из неравенства Берри–Эссеена с нецентральной ляпуновской дробью для составных пуассоновских случайных сумм
$$ \Delta_{\lambda}(F) \leqslant \frac{C_1}{\sqrt{\lambda}} \cdot L_1(F), \quad \lambda > 0, \quad \text{(Ротарь, 1972, 1976)} $$
где $C_1 \in [0.266013, 0.3031]$ (Шевцова, 2014) – абсолютная константа, вытекает неравенство Берри–Эссеена с центральной ляпуновской дробью
$$ \Delta_{\lambda}(F) \leqslant \frac{C_0\left(\frac{\mathbb{E}X}{\sqrt{\mathbb{E}X^2}}\right)}{\sqrt{\lambda}} \cdot L_0(X), \quad \lambda > 0, $$

$$ C_0(t) = C_1 \cdot H(t)(1-t^2)^{3/2} \leqslant C_1 \cdot 1.48998, \quad t \in (-1, 1). $$