Ветвящиеся случайные блуждания с одним центром генерации частиц и бесконечным числом поглощающих источников

В последние годы активно развивается теория ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам. В докладе рассматривается новая модель таких процессов, когда, блуждая по решетке, начальная частица может поглотиться в каждой точке решетки и только в одной из них, например, в нуле она может также произвести потомство. Предполагается, что случайное блуждание, лежащее в основе процесса, симметрично, однородно по пространству и неприводимо, а все частицы-потомки эволюционируют по тому же закону независимо друг от друга. Выведены уравнения для производящих функций и моментов всей популяции частиц и численностей частиц в каждой точке решетки. Формально в правой части эволюционных уравнений для первых моментов возникает самосопряженный оператор с бесконечномерным точечным возмущением. Однако несложным преобразованием удается свети рассматриваемую задачу к задаче с одноточечным возмущением, которая детально изучена, например, в монографии Яровой (2007). Для нового оператора изучаются условия существования изолированного положительного собственного значения, но в отличие от всех проведенных ранее исследований, экспоненциальный рост численностей частиц в ВСБ будет наблюдаться, если полученное собственное значение будет превышать интенсивность поглощения частиц, которая в рассматриваемой модели предполагается равной в каждой точке решетки. В этом случае происходит регулярный рост моментов и доказывается слабая сходимость численностей частиц к некоторой случайной величине. Именно в такой ситуации можно говорить о “сильном” центре, в котором скорость размножения частиц позволяет достигнуть экспоненциального роста численности частиц на больших временах, несмотря на возможное поглощение в каждой точке.