О методах исследования ветвящихся случайных блужданий

Доклад посвящен стохастическим процессам с непрерывным временем, которые могут быть описаны в терминах размножения, гибели и транспорта частиц. Такие процессы на многомерных решетках называют ветвящимися случайными блужданиями, а точки решетки, в которых может происходить рождение и гибель частиц — источниками ветвления. Особое внимание уделено анализу асимптотического поведения численностей частиц в каждой точке решетки и их моментов для ветвящихся случайных блужданий, в основе которых лежит симметричное, однородное по пространству, неприводимое случайное блуждание по решетке. Поведение моментов численностей частиц во многом определяется структурой спектра эволюционного оператора средних численностей частиц и требует для исследования ряда моделей привлечения спектральной теории операторов в банаховых пространствах. Будут рассмотрены два способа доказательства предельных теорем, один из которых основан на проверке условий, гарантирующих единственность определения предельного вероятностного распределения численностей частиц своими моментами, а другой — на аппроксимации нормированного числа частиц в точке решетки некоторым неотрицательным мартингалом (см., Н. В. Смородина и Е. Б. Яровая, 2022), позволяющий доказать сходимость этих величин к пределу в среднеквадратическом в достаточно общих предположениях на характеристики процесса.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект 20-01-00487.