Условные предельные теоремы для случайных блужданий и их локальных времен

Пусть $X_{1},X_{2},\ldots $ – независимые случайные величины с одинаковым арифметическим распределением с максимальным шагом $1$, причем $\mathbf{E}X_{1}=0$, $\mathbf{E}X_{1}^{2}:=\sigma ^{2}\in \left( 0,+\infty \right) $. Положим $S_{0}=0$, $S_{i}=\sum\nolimits_{j=1}^{i}X_{j}\ $при $i\in \mathbf{N}$. Пусть $T\mathcal{=}\min \left\{ i>0:S_{i}\leq 0\right\} $. Введем остановленное случайное блуждание $\widetilde{S}_{i}=S_{i}$ при $i<T$ и $\widetilde{S}_{i}=0$ при $i\geq T$. Положим $\widetilde{\xi }\left( k\right) =\left\vert \left\{ i\geq 0:\widetilde{S}_{i}=k\right\} \right\vert $.
Пусть $\left\{ W^{+}\left( t\right) ,\text{ }t\geq 0\right\} $ – броуновская извилина и $l^{+}\left( u\right) $ – ее локальное время, т.е. $l^{+}\left( u\right) =\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\varepsilon ^{-1}\int\nolimits_{0}^{+\infty }I_{\left[ u,u+\varepsilon \right] }\left( W^{+}\left( s\right) \right) ds$ при $u>0$.
Теорема 1. При $n\rightarrow \infty $
\begin{equation*} \left\{ \left. \sigma \widetilde{\xi }\left( \left\lfloor u\sigma \sqrt{n}\right\rfloor \right) /\sqrt{n},\text{ }u\geq 0\text{ }\right\vert \text{ }T>n\right\} \overset{D}{\rightarrow }\left\{ l^{+}\left( u\right) ,\text{ }u\geq 0\right\} , \end{equation*}
где символ $\overset{D}{\rightarrow }$ означает сходимость по распределению в пространстве $D\left[ 0,+\infty \right) $ с топологией Скорохода.
Пусть $\left\{ W_{0}^{\uparrow }\left( t\right) ,\text{ }t\geq 0\right\} $ – броуновский прыжок в высоту и $l_{0}^{\uparrow }\left( u\right) $ – его локальное время, т.е. $l_{0}^{\uparrow }\left( u\right) =\underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\lim }\varepsilon ^{-1}\int\nolimits_{0}^{+\infty }I_{\left[ u,u+\varepsilon \right] }\left( W_{0}^{\uparrow }\left( s\right) \right) ds$ при $u>0$. Положим $T_{x}=\min \left\{ i\in \mathbf{N}:\widetilde{S}_{i}>x\right\} $ при $x>0$.
Теорема 2. При $n\rightarrow \infty $
\begin{equation*} \left\{ \left. \sigma ^{2}\widetilde{\xi }\left( \left\lfloor un\right\rfloor \right) /n,\text{ }u\geq 0\text{ }\right\vert \text{ }T_{n}<+\infty \right\} \overset{D}{\rightarrow }\left\{ l_{0}^{\uparrow }\left( u\right) ,\text{ }u\geq 0\right\} . \end{equation*}