Численное решение двумерной задачи с подвижной границей и условиями типа Хеле–Шоу для моделирования активного движения клетки

Механизм подвижности живых клеток является предметом исследования для широкого круга учёных. Сегодня биологи, физики и математики ищут новые инструменты для мод елирования этого процесса. В данной работе представлена простая двумерная модель клетки со свободными границами, движущейся по однородной и изотропной поверхнос ти. В ней описывается динамика сложной актомиозиновой жидкости, свойства которой влияют на динамику границ и подвижность клетки. Система уравнений в частных про изводных в области со свободной границей содержит нелокальный член. Закон Дарси описывает поток актомиозиновой жидкости, а распределение миозина в клетке изменя ется в соответствии с уравнением адвекции-диффузии. Граничные условия написаны в предположении, что растяжение клеточной мембраны описывается уравнением Юнга-Ла пласа. Также присутствуют условие непрерывности нормальной составляющей скорости жидкости на границе и условие непротекания.
$$ \begin{cases} \Delta \varphi = \zeta \varphi - Q(m)\\frac{\partial m}{\partial t} + \nabla(m \nabla \varphi) = \Delta m\\zeta \varphi = \gamma \kappa + p_{eff}(|\Omega(t)|)\V_{\nu} = \partial \varphi \\partial_{\nu} m = 0 \end{cases} $$
Для получения приближенного решения задача была сведена к краевой задаче со смешанными условиями на постоянной границе, разработана специальная разностная схема второго порядка точности и реализована в виде программного модуля на языке Python. Получены устойчивые решения, в том числе сходящиеся к некоторым аналитически м со вторым порядком точности.