Известные и неизвестные свойства тензорных рангов

Канонические тензорные разложения — это пример алгебраической реализации идеи разделения переменных. Они являются классическим объектом теоретической математики и в то же время имеют много очень полезных приложений. Их свойства в $d$-мерном случае при $d \ge 3$ существенно отличаются от матричного случая $d=2$. Одно из радикальных отличий связано с понятием граничного ранга, которое отсутствует в матричном случае. Мы рассмотрим некоторые открытые вопросы, связанные с этим понятием, в том числе вопрос о незамкнутости ранговых множеств. Для прояснения этого вопроса предлагается гипотеза об увеличения ранга любого тензора, ранг которого меньше главного ранга, с помощью прибавления какого-то тензора ранга один. Доказывается теорема о справедливости этой гипотезы почти всюду.