Асимптотики решений и условия полноты корневых векторов для $n \times n$ системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Рассматривается $n \times n$ система дифференциальных уравнений вида
$$ \mathbf{y'} = \lambda A(x) \mathbf{y} =+ B(x) \mathbf{y}, \,\ x \in [0, 1] $$
с коэффициентами из пространства $W^k_1[0, 1]$, $k \in \{0\} \cup \mathbf{N}$ ($W^0_1 \equiv L_1$), $\lambda$ - комплексный большой параметр. При таких условиях гладкости в работе доказано существование фундаментальной матрицы решений с асимптотикой вида
$$ Y(x, \lambda) = M(x)(I + \frac{R^1(x)}{\lambda} + \dots + \frac{R^k(x)}{\lambda^k} + o(1)\lambda^{-k})E(x, \lambda), \,\ \lambda \to \infty, $$

$$ E(x, \lambda) = diag\{e^{\lambda \int_0^x a_1dt}, \dots, e^{\lambda \int_0^x a_ndt} \}, \,\ M(x) = diag \{e^{\int_0^x b_{11}dt}, \dots, e^{\int_0^x b_{nn}dt}\}. $$
в наиболее широких секторах для $\lambda$ и явными формулами для элементов матриц $R^m(x), m = 1, \dots, k$. Необходимость применения таких формул возникает в почти регулярных спектральных задачах. В работе рассмотрена почти регулярная задача для $2 \times 2$ системы с обращающимися в $0$ на концах отрезка коэффициентами разложения. Получена асимптотика собственных значений задачи, и сформулированы достаточные условия полноты системы корневых функций. Доклад основан на совместной работе с А. А. Шкаликовым и поддержан грантом РФФИ No 20-11-20261.