Асимптотика решений трехмерного уравнения Гельмгольца в двухслойной среде с локализованной правой частью

Рассматривается область $(x, z) \in \mathbb{R}^2 \times [z_-, z_+]$, разделенная границей в виде графика функции $z=D(x)$, $z_- < D(x) < z_+$, на две среды с зависящими от $x$ плотностями $\rho_\pm(x)$. В данной области рассматривается асимптотика с малым параметром $h\to +0$ уравнения Гельмгольца с локализованной в окрестности точки $(x^0, z^0)$ правой частью, заданной гладкими быстро убывающими функциями $F$, $G$:
\begin{equation*} h^2 \Delta_x u + u_{zz} +k^2(x, z) u = F\Big( \frac{x-x^0}{h} \Big) G\Big( \frac{z-z^0}{h} \Big). \end{equation*}
Показатель $k(x, z)>0$ равен $k_-(x)$ в слое $z\in [z_-, D(x))$ и $k_+(x)$ в слое $z\in (D(x), z_+]$. Функция $u(x, z)$ должна удовлетворять условиям $u|_{z=z_-} = u|_{z=z_+} = 0$ на границе области и следующим условиям на границе двух сред:
\begin{equation*} u|_{z=D(x)-0} = u|_{z=D(x)+0}, \qquad \rho_- u_z|_{z=D(x)-0} = \rho_+ u_z|_{z=D(x)+0}. \end{equation*}
Данное уравнение возникает в задачах акустики при изучении распространения звуковых волн в океане (среда жидкость–дно), порожденных точечным источником.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 21–11–00341).