Об эллиптических уравнениях с субоднородной нелинейностью неопределённого знака

Мы обсудим вопросы существования и множественности, а также некоторые качественные свойства неотрицательных решений нулевой задачи Дирихле для квазилинейного параметрического уравнения $-\Delta_p u - \lambda |u|^{p-2}u = a(x)|u|^{q-2}u$ в ограниченной области, где $1<q<p$ и функция $a$ знакопеременна. Отличительной особенностью данной задачи является тот факт, что неотрицательные решения не обязаны удовлетворять строгому принципу максимума. Как следствие, множество решений имеет, вообще говоря, богатую структуру. Мы покажем, что для некоторых $p \neq 2$ наблюдаются нетривиальные эффекты, которые невозможны в линейном случае.