Оценки производных высокого порядка в пространствах Соболева

Для функций $f$ из вещественного пространства Соболева $\mathring{W}^n_\infty[0;1]$, удовлетворяющих условиям Дирихле, изучаются наименьшие возможные величины $A_{n,k}(a)$ в неравенствах
$$ |f^{(k)}(a)|\leqslant A_{n,k}(a)\|f^{(n)}\|_{L_\infty[0;1]}, \quad k=0,1,\ldots,n-1, \quad a\in(0;1) $$

Основной интерес представляет задача о нахождении точек глобального максимума величин $A_{n,k}(a)$, при этом число
$$ \Lambda_{n,k}:=\max_{a\in(0;1)}A_{n,k}(a) $$
равно точной константе вложения пространства $\mathring{W}^n_\infty[0;1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[0;1]$, $k=0,1,\ldots,n-1$.
Основной результат заключается в следующем утверждении.
Теорема. \textit{ Точки локальных максимумов функций $A_{n,n-1,\infty}(a)$ на отрезке $[0;1]$ равны $a_j=\sin^2\frac{\pi j}{2(n+1)}$, $j=1,2,\ldots, n$. Значения в этих точках равны
\begin{equation}\label{eq:An1} A_{n,n-1,\infty}(a_j)=\tg\frac{\pi}{2(n+1)}\sqrt{a_j-a_j^2}. \end{equation}
При нечетном $n$ точкой глобального максимума функции $A_{n,n-1,\infty}$ является точка $a=1/2$, при четном $n$ точками глобального максимума функции $A_{n,n-1,\infty}$ являются ближайшие к $1/2$ точки локального максимума, равные $\sin^2\frac{\pi n}{4(n+1)}$ и $\sin^2\frac{\pi (n+2)}{4(n+1)}$. Таким образом
\begin{gather*} \Lambda_{n,n-1,\infty,\infty}=\frac12\tg\frac{\pi}{2(n+1)},\quad \text{если } n\quad \text{нечетно},\\Lambda_{n,n-1,\infty,\infty}=\frac12\tg\frac{\pi}{2(n+1)}\sin\frac{\pi n}{2(n+1)},\quad \text{если } n \quad \text{четно}. \end{gather*}
} Доклад основан на совместной работе с Т. А. Гармановой.