Метрики и квазиметрики, порожденные функцией пары точек

Мы изучаем функцию пары точек
$$ p_G(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{|x-y|^2+4d_G(x)d_G(y)}}, $$
где $d_G(x)$ — расстояние от точки области до границы этой области, в подобластях $\mathbb R^n$. Мы доказываем, что для любой подобласти $\mathbb R^n$ эта функция является квазиметрикой с константой меньшей или равной $\sqrt{5}/2$. Более того, для $n\geqslant0$ эта функция является метрикой в $\mathbb R\setminus\{0\}$. Мы также рассматриваем обобщения функции $p_G(x,y)$, зависящие от параметра $\alpha>0$, и показываем, что в некоторых областях эти обобщения являются метриками тогда и только тогда, когда $\alpha\leqslant12$.