|
|
Вторая конференция Математических центров России. Секция «Комплексный анализ»
9 ноября 2022 г. 15:25–15:50, г. Москва, Ломоносовский корпус МГУ, аудитория В3, Ломоносовский пр., 27, к. 1
|
|
|
|
|
|
Об оценках типа Ньюмана для $L_p[-1,1]$-норм наипростейших дробей с полюсами на единичной окружности
М. А. Комаров |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 54 | Материалы: | 2 |
|
Аннотация:
Наипростейшими дробями (НД) принято называть логарифмические производные
алгебраических полиномов. В докладе рассматриваются НД с полюсами $z_k$,
лежащими на единичной окружности, то есть рациональные функции вида $g_n(z)=
(z-z_{1})^{-1}+\dots+(z-z_{n})^{-1}$, $|z_1|=\dots=|z_n|=1$.
Как известно, величина $g_n(z)$ (с точностью до постоянного множителя и
операции комплексного сопряжения) показывает напряженность
электростатического поля, порождаемого $n$ точечными единичными зарядами,
помещенными в точках $z_k$. Ч. К. Чуи (1971) высказал предположение, что
средняя напряженность такого поля в открытом единичном круге $D$, равная
$\|g_n\|=\iint_{D}|g_n(z)|\,dxdy$, отделена от нуля некоторой постоянной
$c>0$, не зависящей от $n$ (и тем самым, дроби $g_n$ неплотны в пространстве
$A(D)$ аналитических в круге $D$ функций $f$, для которых $\|f\|<\infty$). В
1972 году Д. Ньюман доказал справедливость этой гипотезы, установив оценку
$\|g_n\|>\pi/18$.
Для случая отрезка близкая задача была поставлена С. Р. Насыровым (2014):
плотны ли дроби $g_n$ в (комплексном) пространстве $L_2[-1,1]$. Отрицательное
решение этой задачи получено автором в работе 2019 года, где доказана оценка
$\|g_n\|_{L_2}=\int_{-1}^1 |g_n(x)|^2\,dx>1/64$. В докладе будет показано,
что на самом деле нормы $\|g_n\|_{L_2}$ неограниченно возрастают с ростом
$n$. Более того, будет предъявлен точный по $n$ порядок роста норм
$\|g_n\|_{L_p}$ с любым $p\geqslant 1$. Техника, развитая при доказательстве
оценок, применяется и к недавней задаче П. А. Бородина о плотности НД $g_n$
в весовых пространствах $L_2$ на отрезке с весом $(1-x^2)^\alpha$.
Дополнительные материалы:
КомаровМ.А..pdf (193.2 Kb)
|
|