Об оценках типа Ньюмана для $L_p[-1,1]$-норм наипростейших дробей с полюсами на единичной окружности

Наипростейшими дробями (НД) принято называть логарифмические производные алгебраических полиномов. В докладе рассматриваются НД с полюсами $z_k$, лежащими на единичной окружности, то есть рациональные функции вида $g_n(z)= (z-z_{1})^{-1}+\dots+(z-z_{n})^{-1}$, $|z_1|=\dots=|z_n|=1$.
Как известно, величина $g_n(z)$ (с точностью до постоянного множителя и операции комплексного сопряжения) показывает напряженность электростатического поля, порождаемого $n$ точечными единичными зарядами, помещенными в точках $z_k$. Ч. К. Чуи (1971) высказал предположение, что средняя напряженность такого поля в открытом единичном круге $D$, равная $\|g_n\|=\iint_{D}|g_n(z)|\,dxdy$, отделена от нуля некоторой постоянной $c>0$, не зависящей от $n$ (и тем самым, дроби $g_n$ неплотны в пространстве $A(D)$ аналитических в круге $D$ функций $f$, для которых $\|f\|<\infty$). В 1972 году Д. Ньюман доказал справедливость этой гипотезы, установив оценку $\|g_n\|>\pi/18$.
Для случая отрезка близкая задача была поставлена С. Р. Насыровым (2014): плотны ли дроби $g_n$ в (комплексном) пространстве $L_2[-1,1]$. Отрицательное решение этой задачи получено автором в работе 2019 года, где доказана оценка $\|g_n\|_{L_2}=\int_{-1}^1 |g_n(x)|^2\,dx>1/64$. В докладе будет показано, что на самом деле нормы $\|g_n\|_{L_2}$ неограниченно возрастают с ростом $n$. Более того, будет предъявлен точный по $n$ порядок роста норм $\|g_n\|_{L_p}$ с любым $p\geqslant 1$. Техника, развитая при доказательстве оценок, применяется и к недавней задаче П. А. Бородина о плотности НД $g_n$ в весовых пространствах $L_2$ на отрезке с весом $(1-x^2)^\alpha$.