Толмачев и Д. С. Протасов. Разбиения поверхности тора на части меньшего диаметра

Рассмотрим $(X, \rho)$ — метрическое пространство, где $X$ — некоторое множество, а $\rho$ — метрика, определенная на $X \times X$. Для ограниченного произвольного множества $F \subset X$ и натурального числа $n \in \mathbb{N}$ определим следующую величину:
$$d_n(F) = \inf\{x \in \mathbb{R}^{+} : \exists F_{1}, \ldots, F_{n} \subset X: F \subseteq F_{1} \cup \ldots \cup F_{n}, \; \forall i \: \operatorname{diam}(F_{i}) \leqslant x \}.$$

Другими словами, среди всех покрытий множества $F$ некоторыми $n$ множествами $F_{1}, \ldots, F_{n}$ мы хотим выбрать покрытия, состоящие из множеств как можно меньшего диаметра.
Будем рассматривать поверхность двумерного тора как фактор-пространство $T = \mathbb{R}_2/\mathbb{Z}_2$. Неформально говоря, рассмотрим тор как квадрат со стороной $1$, пары противоположных сторон которого "склеены". Определим метрику $\rho_T$ на поверхности тора так:
$$\rho_T\left((x_1,y_1), (x_2, y_2)\right) = \sqrt{\left(\min(|x_1 - x_2|, 1 - |x_1 - x_2|)\right)^2 + \left(\min(|y_1 - y_2|, 1 - |y_1 - y_2|)\right)^2},$$
что является кратчайшим расстоянием между точками $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ по поверхности тора (здесь и далее считаем, что $x_1, y_1, x_2, y_2 \in [0, 1]$).
Далее для метрического пространства $(T, \rho_T)$ будем рассматривать величины $d_n(T)$, т.к. поверхность тора есть ограниченное множество.
Оценка величины $d_n(T)$ при различных $n \in \mathbb{N}$ является естесственным обобщением и развитием задачи об оптимальных разбиениях плоских множеств, однако в случае тора используется метрическая функция $\rho_T$, а не стандартная Евклидова метрика, поэтому необходимо применять новые подходы для оценок величин $d_n(T)$.
Авторами получены новые верхние и нижние оценки $d_n(T)$ для различного количества частей разбиения. Кроме того, доказана точная оценка для разбиения поверхности тора на три части. Отдельно отметим, что в данной работе величина $d_n(T)$ исследуется впервые.