Об условиях осцилляции решений уравнений с последействием

Решения автономного уравнения $\dot x(t)=-ax(t-r)$, где $a,r\geqslant 0$, осциллируют, если и только если $ar>1/e$. Условия осцилляции решений неавтономных уравненений первого порядка с последействием впервые систематически изучал А.Д.Мышкис в середине XX века. Уточнением результов Мышкиса является теорема Р.Г.Коплатадзе и Т.А.Чантурия (1982 г.): все решения уравнения $\dot x(t)=-a(t)x(h(t))$, $t\geqslant 0$, где $a(t)\geqslant 0$, $h(t)\leqslant t$ и $h(t)\to \infty$ при $t\to \infty$, осциллируют, если $\varliminf\limits_{t\to+\infty}\int\limits_{h(t)}^t a(s)\,ds>1/e$. За последние 40 лет опубликованы сотни работ, посвященных обобщениям этого результата, однако при расширении класса уравнений эти обобщения, как правило, теряют красоту и точность.
Доклад посвящен условиям осцилляции решений уравнения $\dot x(t)+\int\limits_0^t x(s)\,d_s r(t,s)=f(t)$, $t\geqslant 0$, с естественными условиями на параметры, обеспечивающими единственность решения. В частности, если функция $r(t,\cdot)$ не убывает и для всех $s\geqslant0$ найдется такое $T(s)>s$, что $\int\limits_0^s d_\tau r(t,\tau)=0$ для всех $t\geqslant T(s)$ (уравнение устойчивого типа), достаточным условием осцилляции всех решений является неравенство $\varliminf\limits_{t\to+\infty} \int\limits_t^{+\infty} \int\limits_0^t d_\tau r(s,\tau)\,ds>1/e$. В приложении к уравнению с несколькими сосредоточенными запаздываниями это условие осцилляции учитывает все запаздывания в равной мере.