О классификации градиентно-подобных систем с многомерным фазовым пространством

Пусть $f^t (f)$ — гладкий поток (каскад) на замкнутом многообразии $M^n$, неблуждающее множество которого состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия, размерность неустойчивого многообразия которых (индекс Морса) принимает значения $\{0,1, n-1,n\}$, а инвариантные многообразия различных седловых состояний равновесия не пересекаются. Тогда многообразие $M^n$ гомеоморфно многообразию $\mathcal{S}^n_g$, где $\mathcal{S}^n_g$ — либо сфера $\mathbb{S}^n$ при $g=0$, либо связная сумма $g>0$ копий многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$. Более того, верно и обратное утверждение: пусть $G(\mathcal{S}^n_g)$ класс гладких систем (потоков или каскадов) на $\mathcal{S}^n_g$, не имеющих гетероклинических траекторий, неблуждающее множество которых состоит из гиперболических состояний равновесия. Тогда множество седловых состояний равновесия (периодических точек) исчерпывается точками, индекс Морса которых равен $1$ или $(n-1)$. Замыкания инвариантных многообразий седел размерности $(n-1)$ делят фазовое пространство на области с одинаковым асимптотическим поведением траекторий, взаимное расположение которых описывается при помощи комбинаторных инвариантнов. В докладе показывается, что при $n\geq 4$ такие комбинаторные инварианты оказывают полными и определяют классы топологической сопряженности рассматриваемых систем.