Произведения хаотических групп гомеоморфизмов

Группа гомеоморфизмов $G$ топологического пространства $X$ называется хаотической, если выполняются следующие два условия 1) группа $G$ топологически транзитивна и 2) объединение компактных орбит всюду плотно в $X$. В случае, когда $X$ — метрическое пространство, определяется чувствительность группы $G$ к начальным условиям. Доказывается, что для метрических пространств Бэра со счетной базой условия 1) и 2) влекут чувствительность группы $G$ к начальным условиям. Следовательно, данное определение хаотичности группы гомеоморфизмов $G$ можно рассматривать как аналог определения хаоса в смысле Дивани для каскадов.
Исследуется взаимосвязь свойств топологической транзитивности, плотности компактных орбит, хаотичности и чувствительности к начальным условиям групп гомеоморфизмов $G_i$, $i\in J$, топологических пространств $X_i$ и произведений групп $G = \times_{i\in J}G_i$ на тихоновском произведении пространств $X = \times_{i\in J}X_i.$ Построены многочисленные примеры хаотических действий групп $G$ на конечномерных и бесконечномерных топологических многообразиях.
\noindent {\center\bf С. Х. Зинина. Глобальная динамика регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на многообразиях}
Доклад посвящен исследованию динамики регулярных гомеоморфизмов и топологических потоков на замкнутых топологических $n$-многообразиях $M^n$, а также топологической классификации таких систем и существованию для них энергетических функций. Актуальность исследования обусловлена прежде всего спецификой изучения динамических систем на многообразиях высокой (большей трех) размерности. В силу возможного отсутствия гладкой структуры на топологических многообразиях, начиная с размерности четыре, динамические системы на таких многообразиях можно рассматривать только в непрерывной категории. Даже если многомерное многообразие допускает гладкую структуру, она может оказаться не единственной, известные подходы к изучению объектов, заданных на таких многообразиях, не используют их гладкость, а, наоборот, сводятся к аппроксимации гладких объектов топологическими. В связи с чем черезвычайно полезным является развитие теории топологических динамических систем на многообразиях.
Разработаны методы изучения динамики регулярных топологических динамических систем, а также подходы к решению проблемы их классификации и построению для них энергетических функций.