Оценки числа многомерных разбиений

Речь пойдет об оценках на число $p_d(n)$ всех $(d-1)$-мерных разбиений натурального числа $n$. Известно, что имеет место двустороннее неравенство $C_1(d)n^{1-1/d}\leq\log p_d(n)\leq C_2(d)n^{1-1/d}$, где $C_1(d)>1$ при $\log n\gtrsim d$. Мы покажем, что если $n$ достаточно велико по сравнению с $d$, то и $C_2$ не зависит от $d$, а значит, $\log p_d(n)$ есть с точностью до константы $n^{1-1/d}$. Кроме того, мы приведем оценки на $p_d(n)$, дающие асимптотику для $\log p_d(n)$ в зависимости от соотношений между $d$ и $n$.