Уточнение оценки скорости равномерной

В 1881 году К. Жордан доказал равномерную сходимость ряда Фурье непрерывной $2\pi$"-периодической функции ограниченной вариации. В 1952 году С. Б. Стечкин дал оценку скорости сходимости (уточненную впоследствии С. А. Теляковским):
\begin{equation*} \left\| r_n(f) \right\| = O \left[ \omega\left( f; \frac{1}{n} \right) \ln \left( \frac{V(f)}{\omega\left(f; \frac{1}{n}\right)} \right) \right], \end{equation*}
где $r_n(f)$ — $n$-й остаток ряда Фурье функции $f$, $ \left\| \quad \right\| $ — стандартная $\sup$-норма, $\omega$ — модуль непрерывности, $V(f)$ — вариация функции $f$ на $[-\pi, \pi]$, постоянная в $O$ — абсолютная. Возникает вопрос о величине этой постоянной. В 1982 году В. В. Жук опубликовал оценку сверху $\left\| r_n(f) \right\|$ ($f$ — произвольная непрерывная $2\pi$"-периодическая функция), учитывающую “малость” наилучшего приближения функции $f$ тригонометрическими полиномами степени $\leq n$ по сравнению с $ \omega\left(f,\frac{\pi}{n+1}\right) $, причем все величины в оценке В. В. Жук указал явно. Для функций ограниченной вариации теорема В. В. Жука дает
\begin{equation*} \left\| r_n(f) \right\| \leq \omega \left( f; \frac{\pi}{n+1} \right) \left( \frac{2}{\pi^2} \ln \left( 1+ \frac{3\pi V(f)}{\omega \left( f; \frac{\pi}{n+1} \right)}\right) + 9.5 \right) \end{equation*}
(Заметим, что этот результат нигде не был сформулирован; вывод его из теоремы В. В. Жука не вполне тривиален.) Мы уточнили последнюю оценку
\begin{equation*} \left\| r_n(f) \right\| \leq \omega_n (f) \left( \frac{2}{\pi^2} \ln \left(\frac{V(f)}{\omega_n (f)}\right) + 1.31 \right), \; \omega_n (f) = \omega \left( f; \frac{\pi}{1.5 (n+0.5)} \right). \end{equation*}
Мы также показали, что постоянная $2\pi^{-2}$ является точной, а постоянная $1.31$ не допускает уменьшения на $1$.