Об одном свойстве пространств Орлича, лежащих между $L^1$ и $L^2$

Напомним, что замкнутое линейное подпространство $H$ пространства $L^p=L^p[0,1],$ $1\le p<\infty,$ называют сильно вложенным, если на $H$ сходимость в $L^p$-норме эквивалентна сходимости по мере.
Цель доклада — распространение на класс пространств Орлича следующей классической теоремы Х. П. Розенталя, доказанной в 1973 г.: Для каждого $1\le p<2$ и любого (замкнутого линейного) подпространства $H$ пространства $L^p$ следующие условия эквивалентны:
(a) $H$ не содержит подпространств, изоморфных пространству $\ell^p$;
(b) $H$ сильно вложено в $L^p$;
(c) функции единичного шара $B_H$ подпространства $H$ имеют равностепенно непрерывные нормы в $L^p$.
Сформулируем один из результатов, где $\alpha_M^\infty$, $\beta_M^\infty$ — индексы Матушевской-Орлича в бесконечности функции $M$.
Теорема. {\it Пусть $M$ — такая функция Орлича, что $1<\alpha_M^\infty\le \beta_M^\infty<2$, $t^{-1/\beta_M^\infty}\not\in L_M$ и $\limsup_{n\to\infty}\frac{M(uv)}{M(v)}\le Ku^{-1/\beta_M^\infty}$ для некоторого $K>0$ и всех $u\ge 0$. Тогда для каждого подпространства $H$ пространства $L_M$ следующие условия эквивалентны:
(i) $H$ не содержит подпространств, изоморфных подпространствам $L_M$, порожденным последовательностями попарно дизъюнктных функций;
(ii) $H$ сильно вложено в $L_M$;
(iii) нормы функций единичного шара $B_H$ подпространства $H$ равностепенно непрерывны в $L_M$. }
\vspace{0.3cm}