Формулы аналитического продолжения гипергеометрических функций многих переменных

Весьма общий класс гипергеометрических функций, зависящих от $N$ переменных $(z_1, z_2, \dots, z_N) =:\mathbf{z} \in \mathbb{C}^N$, определяется с помощью рядов Горна, имеющих вид:
$$ \Phi^{(N)} (\mathbf{z}) = \sum\nolimits_{\mathbf{k} \in \mathbb{Z}^N} \Lambda(\mathbf{k}) \mathbf{z}^\mathbf{k}, \eqno(1) $$
где $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_N)$ — мультииндекс, $\mathbf{z}^\mathbf{k} := z_1^{k_1} z_2^{k_2}\cdots z_N^{k_N}$, а коэффициенты $\Lambda(\mathbf{k})$ таковы, что отношение любых двух соседних является рациональной функцией аргументов $k_1, k_2, \dots, k_N$. Иначе говоря, выполняются соотношения $\Lambda(\mathbf{k} + \mathbf{e}_j) / \Lambda(\mathbf{k}) = P_j (\mathbf{k}) / Q_j(\mathbf{k})$, $j = \overline{1,N}$, где $P_j$ и $Q_j$ — некоторые полиномы, а $\mathbf{e}_j = (0,\dots,1,\dots,0)$ – вектор с единицей на $j$-м месте.
В докладе излагается подход для построения формул аналитического продолжения ряда (1) по переменным $\mathbf{z}$ во все комплексное пространство $\mathbb{C}^N$ в виде линейных комбинаций $ \Phi^{(N)} (\mathbf{z}) = \sum_m A_m u_m (\mathbf{z}) $, где $u_m (\mathbf{z})$ — гипергеометрические ряды горновского типа, удовлетворяющие той же системе дифференциальных уравнений в частных производных, что и ряд (1), $A_m$ — некоторые коэффициенты. Реализация этого подхода продемонстрирована на примере функции Лауричеллы $F_D^{(N)}$ — важного для приложений представителя семейства гипергеометрических функций многих переменных. Дано применение формул аналитическго продолжения функции $F_D^{(N)}$ к решению проблемы "кроудинга", возникающей при вычислении параметров интеграла Кристоффеля–Шварца и построении конформного отображения многоугольников.