О пересечениях фрактальных кубов

Определение. \textit{Пусть $D=\{d_1,\ldots,d_r\}\subset\{0,1,\ldots,n-1\}^k$, где $n\geq 2$, а $1<\#D<n^k$. Фрактальным $k$-кубом порядка $n$ с множеством единиц $D$ называют компактное множество $K\subset R^k$, удовлетворяющее $K=\dfrac{K+D}{n}.$}
Пусть $P=[0,1]^k$, тогда любой фрактальный $k$-куб содержится в $P$.
Определим грани куба $P$. Пусть ${\alpha\in A=\{-1,0,1\}^k}$, тогда $P_\alpha=P\cap(P+\alpha)$ есть $\alpha$-грань куба $P$. Размерность такой $\alpha$-грани есть $\dim(P_\alpha)=k-\sum_{i=1}^k|\alpha_i|$.
Пусть $\alpha,\beta\in A$, будем говорить, что $\beta$ подчинено $\alpha$ (обозначим через $\beta\sqsupset\alpha$), если для любого $i=1,\ldots,k$ неравенство $\alpha_i\neq 0$ влечёт $\alpha_i=\beta_i$.
Для фрактального $k$-куба $K$ мы определим его грани $K_\alpha$ как $K_\alpha=K\cap P_\alpha$. Грани фрактального куба есть фрактальные кубы.
Пусть $K_1=\dfrac{D_1+K_1}{n}$ и $K_2=\dfrac{D_2+K_2}{n}$ – фрактальные $k$ кубы. Мы доказываем следующую теорему о пересечении фрактальных кубов:
Теорема. \textit{Семейство $\{F_\alpha, \alpha\in A\}$ пересечений $F_\alpha=K_1\cap (K_2+\alpha)$ удовлетворяет системе уравнений $F_\alpha=\bigcup\limits_{\beta\sqsupseteq\alpha}T_{\alpha\beta}(F_\beta),\qquad \alpha\in A,$ где для любого $\beta\sqsupseteq\alpha$, $T_{\alpha\beta}(F_\beta)=\frac{1}{n}(F_\beta+G_{\alpha\beta})$ и $G_{\alpha\beta}=D_1\cap(D_2+n\alpha-\beta)$.}
Предложение. \textit{$F_\alpha=\varnothing$ тогда и только тогда, когда для любого $\beta\sqsupseteq\alpha$ и любой конечной последовательности $\alpha=\alpha_0\sqsubset\alpha_1\sqsubset\ldots\sqsubset\alpha_p=\beta$ произведение $\#G_{\alpha_0\alpha_1}\cdot\#G_{\alpha_1\alpha_2}\ldots\#G_{\alpha_{p-1}\alpha_p}\cdot\#G_{\beta}$ равно нулю.}
Мы доказали теоремы о размерности множества $F_0$ и о признаке бесконечной меры этого множества:
Теорема. \textit{Если $F_0\neq\varnothing$, то размерность $\dim(F_0)=\log_nm$, где $m=\max\{\#G_\alpha,\; \alpha\in A:\;\text{ для любой последовательности }\;0\sqsubset\alpha_1\sqsubset\ldots\sqsubset\alpha_{p-1}\sqsubset\alpha\;\text{ произведение }\;\#G_{0\alpha_1}\cdot\#G_{\alpha_1\alpha_2}\cdot\ldots\cdot\#G_{\alpha_{p-1}\alpha}\cdot\#G_{\alpha}\neq0\}$.}
Теорема. \textit{Пусть $\#G_0=\#G_\beta$ и $\log_n\#G_0=s$. Если существует последовательность $0\sqsubset\alpha_1\sqsubset\ldots\sqsubset\alpha_{p-1}\sqsubset\beta$ такая, что $\#G_{0\alpha_1}\cdot \#G_{\alpha_1\alpha_2}\cdot\ldots\cdot\#G_{\alpha_{p-1}\beta}\geq1,$ то $H^s(F_0)=\infty.$}