Обобщения задачи о тени и поверхности постоянной кривизны

Задача о тени поставлена Г. Худайбергановым в 1982 г. в следующей формулировке: какое минимальное число непересекающихся шаров с центрами на единичной сфере евклидова пространства и радиусами, меньшими единицы, достаточно для того, чтобы любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекалась хотя бы с одним их этих шаров. Решение этой задачи в размерностях, больших двух, получено в 2015 г. Ю. Б. Зелинским, И. Ю. Выговской и М. С. Стефанчук. Задача о тени является частым случаем задачи о принадлежности точки обобщённо-выпуклой оболочке множеств. В работе рассматриваются задачи такого рода в пространстве Лобачевского. С задачей о принадлежности точки обобщённо-выпуклой оболочке оришаров косвенно оказывается связанной задача о вложении в евклидово пространство псевдосферических поверхностей вращения, найденных Ф. Миндингом. Все три типа псевдосферических поверхностей вращения получают общее истолкование в пространстве Лобачевского, связанное с касательными конусами к орисферам.