16:30–16:50 & С .С. Николаенко. Топология алгебраически разделимых систем

Одним из методов качественного анализа решений вполне интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы является изучение топологии её лиувиллева слоения, то есть слоения фазового пространства на совместные поверхности уровня первых интегралов системы (регулярные торы Лиувилля и особые слои). А. Т. Фоменко и его школой построена теория топологической классификации интегрируемых систем, одним из основных результатов которой является полное описание топологии лиувиллева слоения на 3-мерном инвариантном подмногообразии невырожденной интегрируемой системы с двумя степенями свободы. Соответствующий классифицирующий инвариант, называемый меченой молекулой, или инвариантом Фоменко–Цишанга, имеет структуру графа с числовыми метками. Рёбрам этого графа отвечают однопараметрические семейства регулярных слоёв, а вершинам — бифуркации слоения, так называемые атомы. Поиск этого инварианта для конкретной интегрируемой системы может оказаться весьма нетривиальной задачей, однако в ряде случаев он может быть выполнен алгоритмически. Одним из таких случаев является класс алгебраически разделимых систем. Алгебраическое разделение, как правило, означает, что гамильтоновы уравнения на каждом слое сводятся к системе уравнений Абеля, а фазовые переменные некоторым «хорошим» образом выражаются через переменные разделения (как рациональные функции от радикалов специального вида). В продолжение работ М. П. Харламова, О. Е. Орёл и других авторов построен алгоритм топологической классификации алгебраически разделимых систем. В качестве следствия из этого алгоритма получен полный список простейших бифуркаций (атомов), которые могут возникать в таких системах.