Оптимальные кривые рода 3 и их приложения

В докладе речь пойдет об оптимальных кривых рода 3, определенных над конечными полями с дискриминантами $-19$, $-43$, $-67$, $-163$. Под оптимальной кривой понимается кривая, чье число рациональных точек удовлетворяет границе Хассе–Вейля–Серра. Поскольку на сегодняшний день не существует общего алгоритма построения кривых с большим числом рациональных точек над конечными полями (за исключением эллиптического и гиперэллиптического случаев), то весьма актуальным становится вопрос нахождения явных уравнений кривых и их практических приоложений. Я расскажу о том, что оптимальные кривые рода три, расматриваемые над определенными конечными полями, представляют собой двойное накрытие эллиптической оптимальной кривой, они не являются гиперэллиптическими, а также о структуре их группы автоморфизмов. Существует два подхода для вывода уравнений таких кривых. Первый основан на построении явных базисов пространства Римана–Роха, которое ассоциировано с некоторым дивизором, кратным бесконечно удаленной точке кривой. Второй подход основан на использовании группы автоморфизмов кривой относительно базиса пространства Римана–Роха и его инвариантности. В обоих случаях используется теория функциональных полей рассматриваемых кривых. Также я расскажу о приложениях таких кривых в теории кодирования и криптографии.