Некоторые аппроксимационные свойства фундаментальных групп графов групп

Группа $X$ называется аппроксимируемой классом групп $\mathcal{C}$, если для каждого ее неединичного элемента $x$ найдется гомоморфизм группы $X$ на группу из класса $\mathcal{C}$, переводящий $x$ в элемент, отличный от $1$. Наибольшую известность получило свойство финитной аппроксимируемости (т. е. аппроксимируемости классом всех конечных групп), поскольку для конечно определенной финитно аппроксимируемой группы разрешима проблема тождества. Наряду с финитной изучалась также аппроксимируемость конечными $p$‑группами (где $p$ — простое число), разрешимыми, нильпотентными, свободными и некоторыми другими классами групп. В настоящем докладе свойство аппроксимируемости рассматривается применительно к различным свободным конструкциям групп (обобщенным свободным произведениям, HNN-расширениям и т. д.), каждая из которых представляет собой одновременно и фундаментальную группу некоторого графа групп. Б?льшая часть известных результатов об аппроксимируемости таких конструкций относится к случаю, когда аппроксимирующий класс является корневым, т. е. замкнут относительно взятия подгрупп, расширений и декартовых степеней. В последние годы был выработан подход, позволяющий изучать аппроксимируемость фундаментальных групп графов групп сразу целым (потенциально бесконечным) семейством корневых классов. Это, в частности, позволило весьма существенно продвинуться в изучении аппроксимируемости свободных конструкций групп классом всех разрешимых групп и различными его подклассами. В докладе будет приведено краткое описание указанного подхода, сформулированы основные задачи, возникающие при его применении, и перечислены некоторые случаи, в которых эти задачи удалось решить.